Sistem persamaan algebra linear. sistem homogen persamaan algebra linear

Di sekolah, setiap daripada kita mengkaji persamaan dan, sudah tentu, sistem persamaan. Tetapi tidak ramai yang tahu bahawa terdapat beberapa cara untuk menyelesaikannya. Hari ini kita akan melihat dengan jelas semua kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear, yang terdiri daripada lebih daripada dua persamaan.

cerita

Hari ini kita tahu bahawa seni menyelesaikan persamaan dan sistem mereka berasal dari Babylon kuno dan Mesir. Walau bagaimanapun, persamaan dalam bentuk biasa mereka muncul kepada kami selepas berlakunya tanda 'sama dengan "=", yang diperkenalkan pada 1556 dengan rekod ahli matematik Inggeris. Dengan cara itu, simbol ini telah dipilih atas sebab-sebab: ia bermakna dua segmen sama selari. Sesungguhnya, contoh terbaik kesaksamaan tidak datang.

Pengasas huruf moden dan simbol setakat diketahui, ahli matematik Perancis Fransua Viet. Walau bagaimanapun, jawatan adalah jauh berbeza daripada hari ini. Sebagai contoh, dua nombor yang tidak diketahui dia ditetapkan dengan huruf Q (lat "quadratus".), Dan kiub - (. Lat "cubus") huruf C. simbol-simbol ini kini seolah-olah tidak selesa, tetapi kemudian ia adalah cara yang paling intuitif untuk menulis sistem persamaan algebra linear.

Walau bagaimanapun, dalam keadaan yang dalam kaedah yang lazim penyelesaian adalah bahawa ahli matematik telah mempertimbangkan hanya akar positif. Mungkin ini adalah disebabkan oleh hakikat bahawa nilai-nilai negatif tidak mempunyai apa-apa permohonan praktikal. Satu cara atau lain, tetapi yang pertama dianggap punca negatif bermula selepas matematik Itali Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano dan Raphael Bombelli pada abad ke-16. A rupa yang moden, kaedah utama menyelesaikan persamaan kuadratik (melalui diskriminan) ditubuhkan hanya pada abad ke-17 melalui karya-karya Descartes dan Newton.

Di tengah-tengah ahli matematik Swiss abad ke-18 Gabriel Cramer menemui cara baru untuk membuat penyelesaian sistem persamaan linear mudah. Kaedah ini kemudiannya dinamakan sempena nama beliau, dan sehingga hari ini kita menggunakannya. Tetapi kepada kaedah ceramah Kramer ini sedikit kemudian, tetapi sekarang ini kita akan membincangkan persamaan linear dan penyelesaian mereka secara berasingan daripada sistem.

persamaan linear

persamaan linear - persamaan yang paling mudah dengan pembolehubah (s). Mereka tergolong dalam algebra. persamaan linear ditulis dalam bentuk umum seperti berikut: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... dan _n * x _n = b. Penyerahan borang ini kita perlu dalam penyediaan sistem dan matriks pada.

Sistem persamaan algebra linear

Takrif istilah ini ialah: satu set persamaan yang mempunyai tidak diketahui umum dan penyelesaian umum. Biasanya, di sekolah semua diselesaikan sistem dengan dua atau tiga persamaan. Tetapi ada sistem dengan empat atau lebih komponen. Mari kita melihat bagaimana untuk menulis mereka ke bawah supaya kemudian ia adalah mudah untuk menyelesaikan. Pertama, sistem persamaan algebra linear akan kelihatan lebih baik jika semua pembolehubah ditulis sebagai x dengan indeks yang sama: 1,2,3 dan sebagainya. Kedua, ia perlu membawa semua persamaan kepada bentuk berkanun: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... dan _n * x _n = b.

Selepas semua langkah-langkah ini, kita boleh mula untuk memberitahu anda bagaimana untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear. Banyak untuk yang akan datang dalam matriks berguna.

matriks

Matrix - jadual yang terdiri daripada baris dan lajur, dan unsur-unsur yang berada di persimpangan mereka. Ini boleh sama ada nilai khusus atau berubah-ubah. Dalam kebanyakan kes, untuk menetapkan unsur-unsur yang disusun di bawah subskrip (contohnya, ₁₁ atau ₂₃ juga). Indeks pertama menunjukkan bilangan baris, dan kedua - lajur. matriks di atas seperti di atas dan apa-apa unsur matematik yang lain boleh melakukan pelbagai operasi. Oleh itu, anda boleh:

1) Menolak dan menambah saiz yang sama jadual.

2) Darabkan matriks kepada mana-mana nombor atau vektor.

3) Alihan: mengubah baris matriks dalam ruang, dan tiang - selaras.

4) Darab matriks, jika bilangan baris adalah sama dengan salah seorang daripada mereka nombor yang berbeza tiang.

Untuk membincangkan secara terperinci semua teknik-teknik ini, kerana mereka adalah berguna kepada kita pada masa hadapan. Penolakan dan penambahan matriks adalah sangat mudah. Oleh kerana kita mengambil saiz matriks yang sama, setiap elemen satu meja adalah berkaitan dengan setiap elemen lain. Oleh itu kita menambah (tolak) dua elemen-elemen ini (ia adalah penting bahawa mereka berdiri di atas tanah yang sama dalam matriks mereka). Apabila didarab dengan jumlah matriks atau vektor anda hanya membiak setiap elemen matriks dengan nombor (atau vektor). Transposisi - satu proses yang sangat menarik. Sangat menarik kadang-kadang untuk melihat dia dalam kehidupan sebenar, sebagai contoh, apabila menukar orientasi tablet atau telefon. Ikon pada desktop adalah matriks, dan dengan perubahan kedudukan, ia ditukar dan menjadi lebih luas, tetapi penurunan dalam ketinggian.

Mari kita kaji lebih proses seperti pendaraban matriks. Walaupun dia berkata kepada kami, dan tidak berguna, tetapi sedar ia masih berguna. Multiply dua matriks boleh hanya di bawah syarat bahawa bilangan lajur dalam satu jadual adalah sama dengan bilangan baris lain. Sekarang mengambil elemen satu matriks talian dan elemen-elemen lain ruangan yang sepadan. Menggandakan mereka antara satu sama lain dan kemudian jumlah (iaitu, sebagai contoh, hasil daripada unsur-unsur ₁₁ dan ₁₂ dan pada ₁₂ b dan ₂₂ b akan sama dengan: a * b _{11 12} + ₁₂ * b dan _22). Oleh itu, item jadual tunggal, dan kaedah yang sama untuk ia dipenuhi lanjut.

Sekarang kita boleh mula memikirkan bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Gauss

Tema ini mula mengambil tempat di sekolah. Kita tahu dengan baik konsep "sistem dua persamaan linear" dan tahu bagaimana untuk menyelesaikannya. Tetapi bagaimana jika bilangan persamaan adalah lebih besar daripada dua? Ini akan membantu kami kaedah Gauss.

Sudah tentu, kaedah ini adalah mudah untuk digunakan, jika anda membuat matriks sistem. Tetapi anda tidak boleh menukar dan membuat keputusan dengan sendiri.

Jadi, bagaimana untuk menyelesaikannya dengan sistem persamaan linear Gauss? Dengan cara ini, walaupun kaedah ini dan dinamakan sempena nama beliau, tetapi mendapati ia pada zaman purba. Gauss mempunyai operasi yang dijalankan dengan persamaan, untuk akhirnya menyebabkan keseluruhan kepada bentuk pelapis. Iaitu, anda perlu atas ke bawah (jika meletakkan dengan betul) dari yang pertama untuk persamaan terakhir berkurangan satu pembolehubah. Dalam erti kata lain, kita perlu memastikan bahawa kita telah mendapat, berkata, tiga persamaan: pertama - tiga anu, dalam kedua - dua dalam ketiga - satu. Kemudian, daripada persamaan yang lalu, kita dapati tidak diketahui pertama, menggantikan nilai dalam kedua atau persamaan pertama, dan mencari lagi baki dua pembolehubah.

petua Cramer

Untuk pembangunan teknik ini adalah penting untuk menguasai kemahiran penambahan, penolakan matriks, serta keperluan untuk dapat untuk mencari penentu. Oleh itu, jika anda tidak selesa melakukan semua ini atau tidak tahu bagaimana, ia adalah perlu untuk belajar dan dilatih.

Apakah intipati kaedah ini, dan bagaimana untuk berbuat demikian, untuk mendapatkan sistem persamaan linear Cramer? Ia amat mudah. Kita perlu membina matriks nombor (selalunya) pekali sistem persamaan algebra linear. Untuk melakukan ini, hanya mengambil jumlah yang tidak diketahui, dan kami menguruskan jadual dalam perintah itu bahawa mereka direkodkan di dalam sistem. Jika sebelum nombor adalah tanda "-", maka kita menulis pekali negatif. Jadi, kami membuat matriks pertama pekali yang tidak diketahui, tidak termasuk jumlah selepas tanda 'sama (sudah tentu, bahawa persamaan itu perlu dikurangkan kepada bentuk berkanun apabila hak ini hanyalah nombor, dan kiri - semua yang tidak diketahui dengan pekali). Maka anda perlu membuat matriks Beberapa - satu untuk setiap pemboleh ubah. Bagi tujuan ini, dalam matriks pertama digantikan dengan satu lajur setiap nombor lajur dengan pekali selepas tanda 'sama. Oleh itu kita akan mendapat matriks beberapa dan kemudian mencari penentu mereka.

Selepas kami mendapati kelayakan, ia adalah kecil. Kita mempunyai matriks awal, dan terdapat beberapa matriks yang diperolehi, yang sesuai dengan pembolehubah yang berbeza. Untuk mendapatkan penyelesaian sistem, kita bahagikan penentu jadual yang terhasil pada penentu utama bagi jadual. Nombor yang dihasilkan ialah nilai satu pembolehubah. Begitu juga, kita semua yang tidak diketahui.

kaedah lain

Terdapat beberapa kaedah untuk mendapatkan penyelesaian sistem persamaan linear. Sebagai contoh, apa yang dipanggil kaedah Gauss-Jordan, yang digunakan untuk mencari penyelesaian bagi sistem persamaan kuadratik, dan juga berkaitan dengan penggunaan matriks. Terdapat juga kaedah Jacobi untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear. Beliau dengan mudah menyesuaikan diri dengan semua komputer dan digunakan dalam pengiraan.

kes-kes rumit

Kerumitan biasanya timbul jika bilangan persamaan adalah kurang daripada bilangan pemboleh ubah. Maka kita pasti boleh mengatakan bahawa, atau sistem ini tidak konsisten (iaitu, tidak mempunyai akar), atau bilangan keputusan yang cenderung ke infiniti. Jika kita mempunyai kes kedua - ia adalah perlu untuk menulis penyelesaian am bagi sistem persamaan linear. Ia akan termasuk sekurang-kurangnya satu pembolehubah.

kesimpulan

Di sini kita datang ke akhir. Secara ringkasnya: kita perlu memahami apa matriks sistem, belajar untuk mencari penyelesaian am bagi sistem persamaan linear. Tambahan, kami menimbangkan pilihan lain. Kami digambarkan bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear: penghapusan Gaussian dan peraturan Cramer. Kita bercakap tentang perkara yang sukar dihadapkan dan cara-cara lain untuk mencari penyelesaian.

Malah, isu ini adalah lebih luas, dan jika anda mahu untuk lebih memahaminya, kami menasihatkan anda untuk membaca lebih daripada kesusasteraan khusus.