Akar persamaan kuadratik: makna algebra dan geometri

Dalam algebra, persamaan persegi ialah persamaan pesanan kedua. Oleh persamaan ini adalah ungkapan matematik yang mempunyai satu atau lebih tidak diketahui dalam komposisinya. Persamaan pesanan kedua ialah persamaan matematik yang mempunyai sekurang-kurangnya satu persegi dalam ijazah tidak diketahui. Persamaan kuadratik adalah urutan kedua, persamaan dikurangkan kepada bentuk identiti yang sama dengan sifar. Menyelesaikan persamaan kuadratik bermaksud perkara yang sama seperti menentukan akar persamaan kuadratik. Persamaan kuadratik biasa dalam bentuk umum:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

Di mana W, T adalah koefisien akar persamaan kuadratik;

O adalah pekali bebas;

C adalah akar persamaan kuadratik (selalu mempunyai dua nilai c1 dan c2).

Seperti yang telah disebutkan, masalah menyelesaikan persamaan kuadratik adalah mencari akar persamaan kuadratik. Untuk mencari mereka, perlu mencari diskriminasi:

N = T ^ 2 - 4 * W * O

Diskriminasi diperlukan untuk menyelesaikan formula untuk mencari akar c1 dan c2:

C1 = (-T + √N) / 2 * W dan c2 = (-T - √N) / 2 * W

Jika dalam persamaan kuadrat bentuk umum pekali pada akar T mempunyai nilai berganda, maka persamaan digantikan dengan:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

Dan akarnya kelihatan seperti ungkapan:

C1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W dan c2 = [-U - √ (U ^ 2-W * O)] / W

Selalunya persamaan mungkin mempunyai bentuk yang sedikit berbeza, apabila c_2 tidak mempunyai koefisien W. Dalam kes ini, persamaan di atas mempunyai bentuk:

C ^ 2 + F * c + L = 0

Di mana F adalah pekali pada akar;

L adalah pekali bebas;

C adalah akar persamaan kuadratik (selalu mempunyai dua nilai c1 dan c2).

Persamaan semacam ini dipanggil persamaan yang dikurangkan. Nama "dikurangkan" berasal dari formula pengurangan persamaan kuadratik yang tipikal, jika pekali pada akar W adalah satu. Dalam kes ini, akar persamaan kuadratik:

C1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] dan c2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-L)]

Dalam kes walaupun nilai pekali pada akar F, akar akan mempunyai penyelesaian:

C1 = -F + √ (F ^ 2-L) c2 = -F-√ (F ^ 2-L)

Jika kita bercakap mengenai persamaan kuadratik, maka kita mesti ingat Teorem Vieta. Ia mengatakan bahawa untuk persamaan kuadrat dikurangkan, persamaan berikut wujud:

C ^ 2 + F * c + L = 0

C1 + c2 = -F dan c1 * c2 = L

Dalam persamaan kuadrat umum, akar persamaan kuadrat dikaitkan dengan kebergantungan:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

C1 + c2 = -T / W dan c1 * c2 = O / W

Sekarang mari kita perhatikan varian kemungkinan persamaan kuadratik dan penyelesaiannya. Mungkin ada dua dari mereka, kerana jika tidak ada ahli c_2, maka persamaan itu tidak akan lagi menjadi persegi. Oleh itu:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 Variasi persamaan kuadratik tanpa pekali bebas (terma).

Penyelesaiannya ialah:

W * c ^ 2 = -T * c

C1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 Varian persamaan kuadratik tanpa istilah kedua, apabila akar persamaan kuadratik sama dengan nilai mutlak.

Penyelesaiannya ialah:

W * c ^ 2 = -O

C1 = √ (-O / W), c2 = - √ (-O / W)

Semua ini adalah algebra. Pertimbangkan makna geometri bahawa persamaan kuadrat mempunyai. Persamaan urutan kedua dalam geometri menggambarkan fungsi parabola. Bagi pelajar sekolah menengah, masalahnya sering kali mencari akar persamaan kuadratik? Ini akar persamaan memberikan tanggapan tentang bagaimana grafik fungsi (parabola) bersilang dengan paksi koordinat - abscissas. Jika, menyelesaikan persamaan kuadratik, kita akan mendapat penyelesaian yang tidak rasional terhadap akar, maka tidak akan ada persimpangan. Jika akar mempunyai satu nilai fizikal, maka fungsi tersebut melintasi paksi abscissa di satu tempat. Jika dua akar, maka masing-masing, - dua titik persimpangan.

Perlu diingat bahawa akar yang tidak rasional bermaksud nilai negatif di bawah akar, apabila mencari akar. Makna fizikal adalah nilai positif atau negatif. Jika hanya satu akar yang ditemui, akar diandaikan sama. Orientasi lengkung pada sistem koordinat Cartesian juga boleh ditentukan oleh koefisien akar W dan T. Jika W mempunyai nilai positif, maka kedua cabang parabola mempunyai arah ke atas. Jika W mempunyai nilai negatif, maka - turun. Juga, jika pekali B mempunyai tanda positif, sementara W juga positif, maka fungsi puncak dari parabola terletak dalam "y" dari "-" tak terhingga kepada "+" infiniti, "c" dari tolak tak terhingga kepada sifar. Jika T adalah nilai positif, dan W adalah nilai negatif, maka di bahagian lain paksi abscissa.