Perbezaan - apakah ini? Bagaimana untuk mencari pembezaan fungsi?

Bersama-sama dengan derivatif fungsi mereka perbezaan - ia beberapa konsep asas kalkulus pengkamiran, bahagian utama analisis matematik. Sebagai dikaitkan berkait, kedua-dua mereka beberapa abad digunakan secara meluas dalam menyelesaikan hampir semua masalah yang timbul semasa menjalankan aktiviti saintifik dan teknikal.

Kemunculan konsep pengkamiran

Buat kali pertama menyatakan dengan jelas bahawa apa-apa pembezaan, salah seorang pengasas (bersama-sama dengan Isaakom Nyutonom) kalkulus pembezaan Jerman ahli matematik terkenal Gotfrid Vilgelm Leybnits. Sebelum itu ahli matematik abad ke-17. digunakan idea yang sangat jelas dan samar-samar beberapa kecil "yang tidak berbelah bahagi" apa-apa fungsi yang dikenali, yang mewakili nilai yang tetap sangat kecil tetapi tidak sama dengan sifar, di bawah mana nilai-nilai fungsi tidak boleh semata-mata. Oleh itu ia adalah hanya satu langkah untuk pengenalan tanggapan kenaikan kecil daripada hujah-hujah fungsi dan kenaikan masing-masing fungsi yang boleh diungkapkan dalam sebutan terbitan kedua. Dan langkah ini diambil hampir serentak di atas dua saintis yang besar.

Berdasarkan keperluan untuk menangani segera praktikal mekanik masalah yang dihadapi sains pesat membangun industri dan teknologi, Newton dan Leibniz mencipta cara-cara yang sama dalam mencari fungsi kadar perubahan (terutamanya yang berkaitan dengan kelajuan mekanikal badan trajektori yang diketahui), yang membawa kepada pengenalan konsep itu, sebagai fungsi terbitan dan kebezaan, dan juga mendapati algoritma songsang penyelesaian masalah seperti yang diketahui per se (pembolehubah) mempercepatkan dilalui untuk mencari jalan yang telah membawa kepada konsep penting Ala.

Dalam kerja-kerja Leibniz dan Newton idea pertama ia muncul bahawa perbezaan - adalah berkadar dengan kenaikan daripada hujah-hujah asas Δh menokok fungsi Δu yang boleh berjaya digunakan untuk mengira nilai kedua. Dalam erti kata lain, mereka telah menemui bahawa fungsi kenaikan boleh berada di mana-mana tempat (dalam domainnya definisi), dinyatakan dari segi terbitan sebagai Δu = y (x) Δh + αΔh mana α Δh - bakinya cenderung kepada sifar apabila Δh → 0, lebih cepat daripada Δh yang sebenar.

Menurut pengasas analisis matematik, perbezaan - ini adalah apa sebutan pertama dalam kenaikan apa-apa fungsi. Walaupun tanpa mempunyai urutan konsep had yang jelas difahami secara intuitif bahawa nilai pengkamiran derivatif cenderung untuk berfungsi apabila Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Tidak seperti Newton, yang terutamanya seorang ahli fizik dan peralatan matematik dianggap sebagai alat bantu untuk kajian masalah fizikal, Leibniz dibayar perhatian yang lebih kepada Kit Panduan ini, termasuk sistem simbol visual dan difahami nilai matematik. Beliaulah yang mencadangkan notasi taraf perbezaan fungsi dy = y (x) dx, dx, dan terbitan fungsi hujah sebagai hubungan y mereka '(x) = dy / dx.

Takrif moden

Apa yang pengkamiran dari segi matematik moden? Ia berkait rapat dengan konsep kenaikan berubah-ubah. Jika pembolehubah y mengambil nilai pertama y y = _1, maka y = y _2, perbezaan y ₂ ─ y ₁ dipanggil nilai kenaikan y. Kenaikan ini boleh menjadi positif. negatif dan sifar. Perkataan "kenaikan" ditetapkan Δ, Δu rakaman (baca 'delta y') menunjukkan nilai kenaikan y. supaya Δu = y ₂ ─ y _1.

Jika nilai Δu rangkap sembarangan y = f (x) boleh diwakili sebagai Δu = A Δh + α, di mana A ada pergantungan kepada Δh, t. E. A = const untuk x yang diberi, dan α jangka apabila Δh → 0 cenderung untuk ia adalah lebih cepat daripada Δh sebenar, maka yang pertama ( "master") istilah berkadar Δh, dan untuk y = f (x) pengkamiran, ditandakan dy atau df (x) (baca "y de", "de eff dari X"). Oleh itu perbezaan - satu "utama" linear berkenaan dengan komponen kenaikan fungsi Δh.

penjelasan mekanikal

Biarkan s = f (t) - jarak dalam garis lurus bergerak titik bahan dari kedudukan awal (t - masa perjalanan). Kenaikan Δs - adalah titik jalan sepanjang jangka masa Δt, dan ds pengkamiran = f (t) Δt - jalan ini, yang menunjukkan akan diadakan untuk masa yang sama Δt, jika ia mengekalkan f kelajuan '(t), dicapai pada masa t . Apabila infinitesimal Δt ds jalan khayalan berbeza daripada Δs sebenar infinitesimal mempunyai perintah yang lebih tinggi berkenaan dengan Δt. Jika kelajuan pada masa yang t tidak sama dengan sifar, ds nilai anggaran memberikan titik berat sebelah kecil.

tafsiran geometri

Biarkan garis L adalah graf y = f (x). Kemudian Δ x = MQ, Δu = QM '(lihat. Rajah di bawah). Tangent MN memecah Δu dipotong kepada dua bahagian, QN dan NM. Pertama dan Δh adalah berkadar QN = MQ ∙ tg (sudut QMN) = Δh f '(x), t. E QN pengkamiran dy.

Bahagian kedua perbezaan Δu NM'daet ─ dy, apabila Δh panjang → 0 NM 'berkurangan lebih cepat daripada kenaikan hujah, iaitu ia mempunyai susunan kesempitan lebih tinggi daripada Δh. Dalam kes ini, jika f (x) ≠ 0 (tangen tidak selari OX) Segmen QM'i QN setaraf; dalam erti kata lain NM 'berkurangan dengan cepat (perintah kesempitan yang lebih tinggi) daripada jumlah kenaikan Δu = QM. Ini terbukti dalam Rajah (segmen menghampiri M'k M NM'sostavlyaet semua lebih kecil peratusan QM 'segmen).

Jadi, grafik pembezaan fungsi sewenang-wenangnya adalah sama dengan kenaikan ordinat tangen.

Derivatif dan pengkamiran

Faktor dalam penggal pertama fungsi ungkapan kenaikan adalah sama dengan nilai f derivatif '(x). Oleh itu, berikut berhubung - dy = f '(x) Δh atau df (x) = f' (x) Δh.

Adalah diketahui bahawa kenaikan hujah bebas adalah sama dengan pengkamiran yang Δh = dx. Oleh itu, kita boleh menulis: f '(x) dx = dy.

Mencari tempat (kadang-kadang dikatakan "keputusan") perbezaan dilakukan oleh peraturan yang sama seperti untuk derivatif. Senarai mereka diberikan di bawah.

Apa yang lebih universal: kenaikan daripada hujah atau pengkamiran yang

Di sini ia adalah perlu untuk membuat beberapa penjelasan. Perwakilan nilai f '(x) pengkamiran Δh mungkin apabila mempertimbangkan x sebagai hujah. Tetapi fungsi boleh menjadi kompleks, di mana x boleh menjadi fungsi t hujah. Maka perwakilan bersuara pembezaan f '(x) Δh, sebagai peraturan, adalah mustahil; kecuali dalam kes pergantungan linear x = di + b.

Sebagai formula f '(x) dx = dy, maka dalam hal bebas hujah x (kemudian dx = Δh) dalam kes pergantungan parametrik x t, ia adalah berbeza.

Sebagai contoh, ungkapan 2 x Δh adalah untuk y = x ² pengkamiran apabila x adalah pertengkaran. Kita kini x = t ² dan menganggap t hujah. Maka y = x ² = t ^4.

Ini diikuti dengan (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Oleh itu Δh = 2tΔt + Δt ^2. Oleh itu: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Ungkapan ini tidak berkadar dengan Δt, dan oleh itu kini 2xΔh tidak pembezaan. Ia boleh didapati dari persamaan y = x ² = t ^4. Ia adalah sama dy = 4t ³ Δt.

Jika kita mengambil 2xdx ungkapan, ia adalah y pengkamiran = x ² untuk mana-mana t hujah. Malah, apabila x = t ² mendapatkan dx = 2tΔt.

Jadi 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. perbezaan ungkapan yang dicatatkan oleh dua pembolehubah yang berbeza bertepatan.

Menggantikan kenaikan perbezaan

Jika f '(x) ≠ 0, maka Δu dan dy bersamaan (apabila Δh → 0); jika f '(x) = 0 (makna dan dy = 0), mereka tidak setaraf.

Sebagai contoh, jika y = x ^2, maka Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² dan dy = 2xΔh. Jika x = 3, maka kita mempunyai Δu = 6Δh + Δh ² dan dy = 6Δh yang setaraf kerana Δh ² → 0, apabila x = 0 nilai Δu = Δh ² dan dy = 0 tidak setara.

Fakta ini, bersama-sama dengan struktur yang mudah pengkamiran (m. E. Kelelurusan berkenaan dengan Δh), sering digunakan dalam pengiraan anggaran, andaian bahawa Δu ≈ dy untuk kecil Δh. Cari fungsi pengkamiran biasanya lebih mudah daripada untuk mengira nilai sebenar kenaikan.

Sebagai contoh, kami mempunyai kiub logam dengan kelebihan x = 10.00 cm. Pada pemanasan tepi dipanjangkan pada Δh = 0.001 cm. Bagaimana peningkatan jumlah kiub V? Kita ada V = x ^2, supaya dV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ 0 10 ^1/2 = 3 (cm ^3). Meningkat ΔV pengkamiran bersamaan dV, supaya ΔV = 3 cm ^3. pengiraan penuh akan memberikan ΔV = 10,01 ─ ³ 10 ³ = 3,003001. Tetapi hasil daripada semua digit kecuali yang pertama tidak boleh dipercayai; oleh itu, ia masih perlu untuk pusingan sehingga 3 cm ^3.

Jelas sekali, pendekatan ini hanya berguna jika ia adalah mungkin untuk menganggarkan nilai disampaikan dengan kesilapan.

Fungsi Berbeza: contoh

Mari kita cuba untuk mencari pengkamiran fungsi y = x ^3, mencari derivatif. Marilah kita memberi hujah kenaikan Δu dan menentukan.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Di sini, pekali A = 3x ² tidak bergantung kepada Δh, sehingga penggal pertama adalah berkadar Δh, ahli lain 3xΔh Δh ² + ³ apabila Δh → 0 berkurangan lebih cepat daripada kenaikan hujah. Oleh itu, ahli 3x ² Δh adalah pembezaan y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx atau d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Mana d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Kami kini mencari fungsi y = 1 / x oleh terbitan. Kemudian d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Oleh itu dy = ─ Δh / x ^2.

Perbezaan fungsi asas algebra diberikan di bawah.

pengiraan anggaran menggunakan pengkamiran

Untuk menilai fungsi f (x), dan kedudukan derivatif f '(x) pada x = a adalah sukar, tetapi untuk melakukan perkara yang sama di sekitar kawasan x = a tidak mudah. Kemudian datang untuk membantu bersuara anggaran

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Ini memberikan anggaran nilai fungsi pada kenaikan yang kecil melalui pengkamiran yang Δh f '(a) Δh.

Oleh itu, formula ini memberi gambaran anggaran untuk fungsi pada titik akhir sebahagian daripada panjang Δh sebagai jumlah nilai pada titik permulaan bahagian (x = a) dan pengkamiran dalam titik permulaan yang sama. Ketepatan kaedah untuk menentukan nilai fungsi bawah menunjukkan lukisan.

Walau bagaimanapun diketahui dan ungkapan yang tepat untuk nilai fungsi x = a + Δh yang diberikan oleh formula kenaikan terhingga (atau, sebagai alternatif, formula Lagrange)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

di mana titik x = a + ξ adalah selang dari x = a untuk x = a + Δh, walaupun kedudukan yang tepat tidak diketahui. Formula tepat membolehkan untuk menilai kesilapan formula anggaran. Jika kita meletakkan di Lagrange formula ξ = Δh / 2, walaupun ia tidak lagi tepat, tetapi memberi, sebagai peraturan, pendekatan yang jauh lebih baik daripada ungkapan asal dari segi pembezaan.

formula penilaian ralat dengan menggunakan pengkamiran

Sukat , pada dasarnya, tidak tepat, dan membawa kepada data pengukuran yang sepadan dengan ralat. Mereka ini disifatkan oleh menghadkan ralat mutlak, atau, dalam jangka pendek, kesilapan had - positif, jelas melebihi ralat dalam nilai mutlak (atau paling banyak sama dengan ia). Menghadkan ralat relatif dipanggil quotient yang diperolehi dengan membahagikan ia dengan nilai mutlak nilai yang diukur.

Biarkan tepat formula y = f (x) fungsi yang digunakan untuk vychislyaeniya y, tetapi nilai x adalah hasil pengukuran, dan oleh itu membawa ralat y. Kemudian, untuk mencari menghadkan ralat mutlak │Δu│funktsii y, dengan menggunakan formula

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

mana │Δh│yavlyaetsya ralat marginal hujah. kuantiti │Δu│ mesti dibundarkan ke atas, sebagai banyak yang tidak tepat itu sendiri adalah penggantian kenaikan pengiraan pembezaan.