Kalkulus pembezaan fungsi satu dan beberapa pembolehubah

kalkulus pengkamiran adalah satu cabang analisis matematik, yang mengkaji terbitan, perbezaan dan penggunaannya dalam kajian fungsi.

Kisah

kalkulus pengkamiran muncul sebagai disiplin bebas pada separuh kedua abad ke-17, terima kasih kepada kerja-kerja Newton dan Leibniz, yang digubal peruntukan asas dalam pengiraan perbezaan dan melihat hubungan antara integrasi dan pembezaan. Sejak disiplin beliau membangunkan bersama-sama dengan pengiraan kamiran, dan dengan itu membentuk asas analisis matematik. Kemunculan calculi ini membuka zaman moden baru dalam dunia matematik dan menyebabkan kemunculan disiplin baru dalam bidang sains. Juga melanjutkan kemungkinan menggunakan matematik dalam sains semula jadi dan kejuruteraan.

konsep asas

kalkulus pengkamiran adalah berdasarkan kepada konsep-konsep asas matematik. Mereka ialah: nombor nyata, kesinambungan dan had fungsi. Selepas satu masa, mereka telah mengambil rupa yang moden, terima kasih kepada kalkulus kamiran dan pembezaan.

Proses mewujudkan

Pembentukan kalkulus pengkamiran dalam bentuk aplikasi, dan kemudian kaedah saintifik berlaku sebelum kemunculan teori falsafah, yang telah dicipta oleh Nikolay Kuzansky. kerja-kerja yang dianggap sebagai satu perkembangan evolusi daripada sains purba penghakiman. Walaupun fakta bahawa ahli falsafah itu sendiri tidak ahli matematik, sumbangan beliau kepada pembangunan sains matematik tidak dapat dinafikan. Cusa, salah satu daripada yang pertama pertimbangan aritmetik sains yang paling tepat, matematik meletakkan masa yang dipersoalkan.

Dalam matematik purba kriteria universal adalah satu unit, manakala ahli falsafah yang dicadangkan sebagai infiniti langkah baru kembali jumlah sebenar. Sehubungan dengan perwakilan terbalik ini ketepatan dalam bidang sains matematik. pengetahuan saintifik, pada pandangan beliau, dibahagikan kepada rasional dan bijak. Yang kedua adalah lebih tepat, menurut ahli sains, sejak bekas memberikan hasil anggaran sahaja.

idea

Idea asas dan konsep kalkulus pengkamiran yang berkaitan dengan fungsi di kawasan kejiranan yang kecil mata tertentu. Untuk ini, ia adalah perlu untuk membuat alat matematik untuk berfungsi kajian yang tingkah laku di kawasan kejiranan yang kecil mata dipasang berhampiran dengan kelakuan fungsi linear atau polinomial. Berdasarkan definisi ini derivatif dan pembezaan.

Kemunculan konsep terbitan disebabkan oleh sebilangan besar masalah sains semula jadi dan matematik, yang membawa kepada penentuan nilai had dari jenis yang sama.

Salah satu tugas utama yang diberikan sebagai contoh, bermula dengan kelas sekolah tertua, adalah untuk menentukan kelajuan gerakan titik dalam garis lurus dan pembinaan garis tangen kepada lengkung ini. pengkamiran dikaitkan dengan ini, kerana ia adalah mungkin lebih kurang fungsi di kawasan kejiranan yang kecil daripada sudut fungsi linear.

Berbanding dengan konsep terbitan fungsi pemboleh ubah nyata, definisi perbezaan hanya pas mengenai fungsi bersifat umum, khususnya imej ruang Euclid yang lain.

derivatif

Mari bergerak titik dalam arah paksi-y, buat masa ini kita mengambil x, yang diukur dari awal seketika. Menggambarkan apa-apa pergerakan boleh dilakukan dengan fungsi y = f (x), yang dikaitkan dengan setiap titik masa x menyelaras titik displaceable. Panggilan fungsi dalam mekanik untuk mengambil undang-undang gerakan. Ciri utama gerakan, terutamanya tidak sekata, adalah halaju ketika. Apabila titik bergerak di sepanjang paksi-y menurut undang-undang mekanik, titik masa yang rawak ia memperoleh koordinat x f (x). Dalam masa yang titik x + Δh, di mana Δh mewakili kenaikan masa, ia akan kordinaty f (x + Δh). formula itu membentuk Δy = f (x + Δh) - f (x), yang dipanggil fungsi kenaikan. Ia adalah titik jalan yang dilalui sepanjang masa dari x ke x + Δh.

Sehubungan dengan berlakunya halaju pada masa terbitan ditadbir. Terbitan mana-mana fungsi pada titik tetap dipanggil had (dengan andaian ia wujud). Ia boleh dirujuk kepada watak-watak tertentu:

f '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Proses pengiraan terbitan panggilan pembezaan.

kalkulus pembezaan fungsi beberapa pembolehubah

Kaedah ini digunakan apabila mengira kajian fungsi, beberapa pembolehubah. Apabila terdapat dua pembolehubah x dan y, terbitan separa terhadap x pada titik A dipanggil terbitan fungsi ini dalam x dengan y tetap.

Boleh ditunjukkan oleh simbol-simbol berikut:

f '(x) (x, y), u (x), ∂u / ∂x dan ∂f (x, y)' / ∂x.

kemahiran yang diperlukan

Dalam usaha untuk berjaya belajar dan dapat menyelesaikan kemahiran diffury diperlukan dalam integrasi dan pembezaan. Untuk membuat ia lebih mudah untuk memahami persamaan pembezaan, perlu difahami terbitan topik dan tidak terbatas penting. Juga tidak menyakitkan untuk belajar untuk mencari terbitan fungsi yang tersirat. Ini adalah disebabkan oleh hakikat bahawa dalam proses pembelajaran biasanya akan menggunakan kamiran dan pembezaan.

Jenis persamaan pembezaan

Hampir semua kerja kawalan yang berkaitan dengan persamaan pembezaan tertib pertama, terdapat 3 jenis persamaan: homogen, dengan pembolehubah boleh pisah, linear tak homogen.

Terdapat juga spesies lebih jarang berlaku persamaan dengan jumlah perbezaan, persamaan Bernoulli, dan lain-lain.

asas penyelesaian

Untuk memulakan, kita harus ingat ialah persamaan algebra padang sekolah. Ia mengandungi pembolehubah dan nombor. Dalam usaha untuk menyelesaikan persamaan konvensional perlu mencari banyak nombor yang memenuhi syarat yang ditentukan. Biasanya, persamaan ini mempunyai satu akar, dan untuk pengesahan hanya perlu menggantikan nilai ini ke dalam tempat yang tidak diketahui.

Persamaan kebezaan adalah serupa dengan ini. Secara umum, persamaan perintah yang pertama terdiri daripada:

• pembolehubah bebas.
• A terbitan fungsi pertama.
• Fungsi atau pemboleh ubah bersandar.

Dalam beberapa kes, mungkin ada yang tidak diketahui, x atau y, tetapi ia tidak begitu penting kerana ia adalah perlu untuk mempunyai terbitan pertama, tanpa derivatif perintah yang lebih tinggi kepada penyelesaian dan kalkulus pengkamiran benar.

Menyelesaikan persamaan pembezaan - ia bermakna untuk mencari set semua fungsi yang diberikan ungkapan yang sesuai. set apa-apa fungsinya sering dipanggil kawalan penyelesaian umum.

kalkulus kamiran

kalkulus kamiran adalah salah satu bahagian analisis matematik, yang mengkaji konsep penting, ciri-ciri dan kaedah pengiraan.

Sering pengiraan kamiran berlaku apabila mengira kawasan berbentuk garis melengkung. Dengan ini bermakna kawasan had, ke arah mana kawasan yang telah ditetapkan bentuk poligon tertulis dengan peningkatan beransur-ansur dalam tangannya, dan bahagian data itu boleh dibuat kurang daripada apa-apa nilai kecil sewenang-wenangnya yang dinyatakan sebelum ini.

Idea utama dalam pengiraan kawasan mana-mana bentuk geometri mengira kawasan segi empat tepat, maka terdapat bukti bahawa kawasan adalah sama dengan produk panjang dengan lebar. Apabila ia datang kepada geometri, maka semua pembinaan dibuat menggunakan pembaris dan kompas, dan kemudian nisbah panjang kepada lebar adalah nilai rasional. Apabila mengira luas segi tiga kanan boleh menentukan bahawa jika anda meletakkan segi tiga depan, segi empat tepat terbentuk. Dalam bidang selari yang dikira dalam kaedah yang sama tetapi sedikit lebih rumit, dalam segi empat tepat dan segi tiga. Dalam bidang poligon dianggap oleh segi tiga termasuk di dalamnya.

Dalam menentukan rahmat sewenang-wenangnya, kaedah ini tidak sesuai keluk. Jika kita memecahkan ia kepada dua individu, ia akan kekal tempat-tempat yang belum dipenuhi. Dalam kes ini, cuba menggunakan dua helai baju, dengan segi empat tepat di atas dan di bawah, akibat daripada mereka termasuk graf fungsi dan tidak termasuk. Penting di sini adalah satu cara untuk memecahkan segi empat tepat ini. Juga, jika kita mengambil rehat lebih dan lebih dikurangkan, kawasan bahagian atas dan bawah perlu berkumpul pada nilai tertentu.

Ia perlu kembali kepada kaedah untuk memisahkan ke dalam segi empat tepat. Terdapat dua kaedah popular.

Riemann telah dirasmikan Takrif kamiran, yang dicipta oleh Leibniz dan Newton, sebagai kawasan subgraf. Dalam kes ini, kita dianggap tokoh yang terdiri daripada sebilangan segi empat tepat menegak diperolehi dengan membahagikan rehat. Ketika berbuka penurunan terdapat had kepada mana kawasan dikurangkan apa-apa angka, had ini dipanggil kamiran Riemann bagi suatu fungsi pada selang yang ditetapkan.

Kaedah kedua adalah untuk membina Lebesgue penting, yang terdiri dalam fakta bahawa di tempat pemisahan kawasan tertentu ke atas sebahagian daripada kamiran dan menyusun maka jumlah wang yang penting dalam nilai yang diperoleh dalam bahagian-bahagian ini, pada jangka masa yang dibahagikan rangkaian nilai, dan kemudian disimpulkan dengan langkah-langkah berkaitan dengan imej songsang kamiran ini.

Peralatan moden

Salah satu faedah utama untuk kajian pembezaan dan kalkulus kamiran Fikhtengol'ts menulis - "daripada pembezaan dan kalkulus kamiran." buku teks adalah alat asas untuk kajian analisis matematik, yang bertahan banyak edisi dan terjemahan ke dalam bahasa lain. Dicipta untuk pelajar dan untuk masa yang lama digunakan dalam pelbagai institusi pendidikan sebagai salah satu manfaat utama kajian. Ia memberikan maklumat teori dan kemahiran praktikal. Pertama kali diterbitkan pada tahun 1948.

fungsi penyelidikan algoritma

Untuk meneroka kaedah fungsi kalkulus pembezaan, anda perlu mengikuti sudah diberikan algoritma:

1. Cari domain fungsi.
2. Mencari punca persamaan yang diberikan.
3. Mengira keterlaluan. Untuk melakukan ini, kita mengira derivatif dan titik di mana ia adalah sama dengan sifar.
4. Kita menggantikan nilai yang diperolehi dalam Pers.

Jenis persamaan pembezaan

Kawalan perintah pertama (jika tidak, pengkamiran kalkulus satu pembolehubah) dan jenis mereka:

• Dengan pembolehubah boleh pisah persamaan: f (y) dy = g (x) dx.
• Yang paling mudah persamaan atau pengkamiran fungsi kalkulus satu pembolehubah, yang mempunyai formula: y '= f (x).
• Linear tertib pertama kawalan tak seragam: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli pengkamiran persamaan: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Persamaan jumlah perbezaan dengan: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Persamaan pembezaan peringkat kedua dan jenis mereka:

• Homogen linear persamaan pembezaan peringkat kedua dengan ^{pekali malar: y n + py '+ qy} = 0 p, q tergolong R.
• Tak homogen linear peringkat kedua persamaan pembezaan dengan ^nilai pekali ^{malar: y n + py '+ qy} = f (x).
• Homogen linear ^{persamaan pembezaan: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, dan tak homogen ^persamaan peringkat ^{kedua: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

persamaan pembezaan pesanan yang lebih tinggi dan jenis mereka:

• Persamaan pembezaan, membolehkan pengurangan ^{perintah itu: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Satu persamaan linear tertib tinggi ^{_{homogen: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, dan ^{_{tak homogen: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Peringkat untuk menyelesaikan masalah tersebut dengan persamaan pengkamiran

Dengan bantuan kawalan jauh diselesaikan bukan sahaja matematik atau masalah fizikal, tetapi juga pelbagai masalah biologi, ekonomi, sosiologi dan lain-lain. Walaupun pelbagai topik, perlu mengikut urutan logik tunggal untuk menyelesaikan masalah ini:

1. Merangka kawalan. Salah satu peringkat yang paling sukar, yang memerlukan ketepatan maksimum, kerana sebarang kesilapan akan membawa kepada keputusan yang salah. Ia adalah perlu untuk mengambil kira semua faktor yang mempengaruhi proses dan menentukan keadaan awal. Ia juga harus berdasarkan fakta dan kesimpulan logik.
2. Untuk menyelesaikan persamaan. Proses ini adalah lebih mudah untuk tempat yang pertama, kerana ia hanya memerlukan pelaksanaan ketat pengiraan matematik.
3. Analisis dan penilaian keputusan. penyelesaian yang diperolehi perlu dinilai untuk pemasangan nilai praktikal dan teori keputusan.

Contoh penggunaan pengkamiran persamaan dalam perubatan

Menggunakan alat kawalan jauh dalam bidang perubatan ditemui dalam pembinaan model matematik epidemiologi. Kita tidak harus lupa bahawa persamaan ini juga terdapat dalam biologi dan kimia, yang dekat dengan ubat, kerana ia memainkan peranan yang penting kajian penduduk biologi yang berbeza dan proses kimia di dalam tubuh manusia.

Dalam contoh ini, spread wabak jangkitan boleh dirawat dalam masyarakat terpencil. Penduduk dibahagikan kepada tiga jenis:

• Dijangkiti, bilangan x (t), yang terdiri daripada individu, syarikat penerbangan berjangkit, setiap yang berjangkit (tempoh pengeraman adalah pendek).
• Jenis kedua termasuk individu yang mudah y (t), boleh dijangkiti melalui sentuhan dengan dijangkiti.
• Jenis ketiga termasuk individu refraktori z (t), yang kebal atau hilang kerana sakit.

Beberapa individu sentiasa, menjaga kelahiran, kematian semulajadi dan migrasi tidak dipertimbangkan. Pada teras akan menjadi dua hipotesis.

penyakit peratus pada satu ketika masa adalah sama dengan x (t) y (t) (andaian berdasarkan teori bahawa jumlah kes berkadaran dengan jumlah persimpangan antara pesakit dan ahli responsif, yang dalam anggaran pertama adalah berkadar dengan x (t) y (t)), dalam oleh itu, bilangan kes semakin meningkat, dan jumlah penurunan terdedah pada kadar yang dikira dengan kapak formula (t) y (t) (a> 0).

Bilangan haiwan bukan balas-itu mati atau diperolehi imuniti, meningkat pada kadar yang berkadaran dengan bilangan kes, bx (t) (b> 0).

Hasilnya, anda boleh menyediakan sistem persamaan dengan semua tiga petunjuk berdasarkan kesimpulan.

penggunaan CONTOH ekonomi

kalkulus pengkamiran sering digunakan dalam analisis ekonomi. Tugas utama dalam analisis ekonomi dianggap sebagai kajian tentang nilai-nilai ekonomi, yang telah dirakamkan dalam bentuk fungsi. Ia digunakan dalam menyelesaikan masalah seperti perubahan dalam kenaikan cukai pendapatan serta merta selepas itu, yuran penyertaan, perubahan dalam pendapatan apabila menukar nilai produk, dalam apa perkadaran boleh digantikan dengan pekerja bersara dengan peralatan baru. Untuk menyelesaikan masalah itu, ia diperlukan untuk membina fungsi komunikasi pembolehubah yang diterima, yang, selepas dikaji oleh kalkulus pembezaan.

ia adalah perlu untuk mencari prestasi yang paling optimum dalam bidang ekonomi: produktiviti yang maksimum, pendapatan yang paling tinggi, kos-kurangnya dan sebagainya. Setiap komponen itu adalah fungsi satu atau lebih argumen. Sebagai contoh, pengeluaran boleh dianggap sebagai fungsi buruh dan modal. Sehubungan ini, mencari nilai yang sesuai boleh dikurangkan untuk mencari maksimum atau minimum fungsi satu atau lebih pembolehubah.

masalah seperti mewujudkan kelas masalah extremal dalam bidang ekonomi, yang mana anda perlu kalkulus pembezaan. Apabila penunjuk ekonomi yang diperlukan untuk mengurangkan atau memaksimumkan sebagai fungsi parameter lain, nisbah kenaikan titik maksimum fungsi kepada hujah-hujah akan cenderung kepada sifar jika kenaikan hujah cenderung kepada sifar. Jika tidak, apabila apa-apa sikap cenderung kepada nilai positif atau negatif yang tertentu, titik yang dinyatakan tidak sesuai, kerana dengan menambah atau mengurangkan hujah boleh menukar nilai bergantung ke arah yang dikehendaki. Dalam kalkulus pembezaan istilah, ini bermakna syarat-syarat yang diperlukan untuk fungsi maksimum adalah nilai sifar terbitannya.

ekonomi bukan masalah luar biasa untuk mencari extremum daripada fungsi beberapa pembolehubah, kerana petunjuk ekonomi terdiri daripada banyak faktor. Isu-isu seperti difahami dengan baik dalam teori fungsi beberapa pembolehubah, kaedah pengiraan pembezaan. masalah itu termasuk bukan sahaja dimaksimumkan dan fungsi dikurangkan, tetapi juga batasan. Soalan-soalan ini berkaitan dengan pengaturcaraan matematik, dan mereka diselesaikan dengan bantuan kaedah dibangunkan khas juga adalah berdasarkan kepada cabang sains.

Antara kaedah kalkulus pembezaan digunakan dalam ekonomi, bahagian yang penting adalah ujian akhir. Dalam bidang ekonomi, istilah ini merujuk kepada satu set kaedah penyelidikan prestasi berubah-ubah dan terhasil apabila anda menukar jumlah pewujudan, penggunaan, berdasarkan analisis nilai had mereka. Mengehadkan petunjuk dianggap terbitan atau terbitan separa dengan beberapa pembolehubah.

kalkulus pengkamiran daripada beberapa pembolehubah - satu topik penting dalam analisis matematik. Untuk kajian terperinci, anda boleh menggunakan pelbagai bahan bantu mengajar bagi institusi pendidikan tinggi. Salah satu Fikhtengol'ts dicipta yang paling terkenal - "daripada pembezaan dan kalkulus kamiran." Berapa banyak nama bagi penyelesaian persamaan pembezaan kepentingan yang besar untuk mempunyai kemahiran untuk bekerja dengan kamiran. Apabila terdapat kalkulus pengkamiran fungsi satu pembolehubah, keputusan menjadi lebih mudah. Walaupun, ia harus diperhatikan, ia mengikuti peraturan asas yang sama. Dalam amalan, untuk menyiasat fungsi kalkulus pengkamiran, hanya ikut algoritma yang telah sedia ada, yang diberikan di sekolah tinggi, dan hanya sedikit rumit dengan pengenalan pembolehubah baru.