Perkembangan geometri. Contoh dengan penyelesaian

Pertimbangkan satu siri.

7 28 112 448 1792 ...

Adalah agak jelas bahawa nilai mana-mana unsur-unsurnya adalah empat kali lebih besar daripada yang sebelumnya. Oleh itu, siri ini merupakan perkembangan.

Perkembangan geometri Memanggil urutan nombor tak terhingga, ciri utama yang mana nombor seterusnya diperoleh dari yang sebelumnya dengan mengalikan dengan nombor tertentu. Ini dinyatakan dengan formula berikut.

A _{z +1} = a _z · q, di mana z ialah bilangan elemen yang dipilih.

Begitu juga, z ∈ N.

Tempoh ketika perkembangan geometri dipelajari di sekolah adalah gred 9. Contoh-contoh akan membantu anda memahami konsep:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 6 2 ...

Prosiding dari formula ini, penyebut kemajuan boleh didapati seperti berikut:

Baik q dan b _z boleh sama dengan sifar. Juga, setiap elemen urutan urutan perkembangan mestilah tidak sifar.

Oleh itu, untuk mencari bilangan siri seterusnya, kita mesti mengalikan yang terakhir dengan q.

Untuk menentukan perkembangan ini, anda mesti menentukan elemen pertama dan penyebutnya. Selepas ini, adalah mungkin untuk mencari mana-mana ahli seterusnya dan jumlah mereka.

Varieti

Bergantung pada q dan a _1, perkembangan ini dibahagikan kepada beberapa jenis:

• Jika kedua-dua ₁ dan q lebih besar daripada satu, maka jujukan sedemikian adalah perkembangan geometri yang meningkat dengan setiap elemen seterusnya. Contohnya dibentangkan di bawah.

Contoh: a ₁ = 3, q = 2 - kedua-dua parameter lebih besar daripada satu.

Kemudian urutan berangka boleh ditulis sebagai:

3 6 12 24 48 ...

• Jika | q | Kurang daripada satu, iaitu, pendaraban olehnya bersamaan dengan pembahagian, maka perkembangan dengan keadaan yang sama adalah penurunan kemajuan geometri. Contohnya dibentangkan di bawah.

Contoh: a ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ lebih daripada satu, q - kurang.

Kemudian urutan berangka boleh ditulis dengan demikian:

6 2 2/3 ... - setiap unsur lebih besar daripada elemen yang mengikutinya, 3 kali.

• Ia berselang-seli. Sekiranya q <0, maka tanda-tanda urutan nombor terus berubah tanpa mengira ₁ , dan unsur-unsur tidak meningkat atau berkurang.

Contoh: a ₁ = -3, q = -2 - kedua-dua parameter kurang daripada sifar.

Kemudian urutan berangka boleh ditulis sebagai:

-3, 6, -12, 24, ...

Formula

Untuk kegunaan kemajuan geometri yang mudah, terdapat banyak formula:

• Formula istilah zth. Membolehkan anda mengira elemen yang berada di bawah nombor tertentu tanpa mengira nombor sebelumnya.

Contoh: q = 3, a ₁ = 4. Ia dikehendaki untuk mengira elemen keempat perkembangan.

Penyelesaiannya ialah: a ₄ = 4 · 3 ^4-1 = 4 · 3 ³ = 4 · 27 = 108.

• Jumlah elemen pertama, yang bilangannya Z. Membolehkan untuk mengira jumlah semua unsur jujukan sehingga satu _z .

Oleh kerana (1 - q ) berada dalam penyebut, maka (1 - q) ≠ 0, oleh itu, q tidak sama dengan 1.

Nota: jika q = 1, maka perkembangan itu akan menjadi satu siri nombor pengulangan tak terhingga.

Jumlah perkembangan geometrik, contoh: a = 2, q = -2. Kira S ₅ .

Penyelesaian: S ₅ = 22 - pengiraan mengikut formula.

• Jumlahnya, jika | Q | <1 dan jika z cenderung tak terhingga.

Contoh: a ₁ = 2 _, q = 0.5. Cari jumlah.

Penyelesaian: S _z = 2 · = 4

Sekiranya anda menghitung sejumlah ahli secara manual, anda dapat melihat bahawa ia benar-benar berusaha untuk empat.

S _z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Beberapa sifat:

• Harta ciri. Sekiranya keadaan berikut Adakah berpuas hati untuk mana-mana z , maka siri berangka yang diberikan adalah perkembangan geometri:

A _z ² = A _{z -1} · A _{z + 1}

• Begitu juga, kuadrat mana-mana bilangan perkembangan geometri dijumpai dengan menambahkan kotak dua lagi nombor apa-apa dalam siri tertentu jika mereka sama dengan elemen ini.

Dan _z ² = a _{z - t} ² + a _{z + t} ² , di mana t adalah jarak antara nombor-nombor ini.

• Elemen berbeza dengan faktor q .
• Logaritma unsur-unsur perkembangan juga membentuk perkembangan, tetapi sudah aritmetik, iaitu, masing-masing lebih besar daripada yang sebelumnya dengan bilangan tertentu.

Contoh beberapa masalah klasik

Untuk lebih memahami apa perkembangan geometri, contoh dengan penyelesaian untuk kelas 9 dapat membantu.

• Syarat: a ₁ = 3, a ₃ = 48. Cari q .

Penyelesaian: setiap elemen berturut-turut adalah lebih besar daripada yang sebelumnya dalam q Times. Ia adalah perlu untuk meluahkan beberapa unsur melalui orang lain yang menggunakan penyebut.

Oleh itu, a ₃ = q ² · a ₁

Dengan penggantian q = 4

• Syarat: a ₂ = 6, a ₃ = 12. Kirakan S ₆ .

Penyelesaian: Untuk ini, sudah cukup untuk mencari q, elemen pertama dan menggantikan formula.

A ₃ = q · a ₂ , oleh itu, q = 2

A ₂ = q · A ₁ , oleh itu A ₁ = 3

S ₆ = 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Cari elemen keempat perkembangan.

Penyelesaian: untuk ini cukup untuk menyatakan elemen keempat melalui yang pertama dan melalui penyebut.

A ₄ = q ³ · a ₁ = -80

Contoh permohonan:

• Pelanggan bank membuat sumbangan kepada jumlah 10,000 rubel, di bawah syarat-syarat yang setiap tahun kepada pelanggan kepada jumlah prinsipal akan ditambah 6% daripadanya. Berapa banyak wang dalam akaun dalam 4 tahun?

Keputusan: Jumlah awal adalah 10 ribu rubel. Oleh itu, setahun selepas pelaburan dalam akaun akan ada jumlah yang sama dengan 10000 + 10000 · 0.06 = 10000 · 1.06

Oleh itu, amaun dalam akaun dalam satu tahun akan dinyatakan seperti berikut:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10,000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10,000

Iaitu, setiap tahun jumlahnya meningkat sebanyak 1.06 kali. Oleh itu, untuk mencari jumlah dana dalam akaun dalam 4 tahun, sudah cukup untuk mencari unsur keempat perkembangan, yang ditetapkan oleh elemen pertama yang sama dengan 10 ribu, dan penyebutnya bersamaan dengan 1.06.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12625

Contoh tugas untuk mengira jumlah:

Dalam pelbagai masalah, perkembangan geometri digunakan. Contoh mencari jumlah boleh dinyatakan seperti berikut:

A ₁ = 4, q = 2, hitung S ₅ .

Penyelesaian: semua data yang diperlukan untuk pengiraan diketahui, anda hanya perlu menggantikannya dalam formula.

S ₅ = 124

• A ₂ = 6, a ₃ = 18. Kirakan jumlah enam elemen pertama.

Penyelesaian:

Dalam geom. Kemajuan, setiap elemen seterusnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya oleh q kali, iaitu, untuk mengira jumlah yang diperlukan untuk mengetahui elemen ₁ dan penyebut q .

A ₂ · Q = a ₃

Q = 3

Begitu juga, ia perlu mencari ₁ , mengetahui ₂ dan q .

A ₁ · Q = a ₂

A ₁ = 2

Dan selanjutnya ia sudah cukup untuk menggantikan data yang diketahui dalam formula jumlah itu.

S ₆ = 728.