Persamaan pembezaan urutan lurus dan homogen. Penyelesaian sampel

Saya fikir kita harus bermula dengan sejarah alat matematik yang mulia seperti persamaan pembezaan. Seperti semua calculi perbezaan dan integral, persamaan ini dicipta oleh Newton pada akhir abad ke-17. Dia menganggap penemuan ini sangat penting sehingga dia menyulitkan mesej itu, yang hari ini dapat diterjemahkan seperti ini: "Semua undang-undang alam digambarkan oleh persamaan pembezaan." Ia mungkin kelihatan seperti keterlaluan, tetapi ia benar. Mana-mana undang-undang fizik, kimia, biologi boleh digambarkan oleh persamaan-persamaan ini.

Sumbangan besar kepada perkembangan dan penciptaan teori persamaan pembezaan dibuat oleh ahli matematik Euler dan Lagrange. Sudah pada abad ke-18, mereka telah menemui dan mengembangkan apa yang kini sedang dipelajari di kursus perguruan tinggi.

Satu pencapaian baru dalam kajian persamaan pembezaan bermula dengan Henri Poincare. Dia mencipta teori "kualitatif persamaan pembezaan", yang digabungkan dengan teori fungsi pembolehubah yang kompleks membuat sumbangan penting kepada asas topologi - sains ruang dan sifatnya.

Apakah persamaan pembezaan?

Ramai orang takut dengan satu frasa "persamaan pembezaan". Walau bagaimanapun, dalam artikel ini, kita akan memperincikan intipati keseluruhan alat matematik yang sangat berguna ini, yang sebenarnya tidak begitu rumit kerana ia kelihatan dari tajuk. Untuk memulakan persamaan pembezaan urutan pertama, anda harus terlebih dahulu mengenali konsep asas yang berkaitan dengan definisi ini. Dan kita akan bermula dengan perbezaannya.

Berbeza

Ramai orang tahu konsep ini dari sekolah. Bagaimanapun, kami akan meneruskannya dengan lebih terperinci. Bayangkan graf fungsi. Kita boleh menaikkannya sehingga setakat mana mana-mana segmennya akan mengambil bentuk garis lurus. Di atasnya kita mengambil dua mata yang hampir sama antara satu sama lain. Perbezaan dalam koordinat mereka (x atau y) adalah sangat kecil. Ia dipanggil perbezaan dan dilambangkan oleh tanda-tanda dy (perbezaan y) dan dx (perbezaan x). Sangat penting untuk memahami bahawa pembezaan bukan kuantiti terbatas, dan inilah makna dan fungsi asasnya.

Dan sekarang kita perlu mempertimbangkan unsur berikut, yang kita perlukan dalam menjelaskan konsep persamaan kebezaan. Ini adalah turunan.

Derivatif

Kita semua mungkin mendengar di sekolah dan konsep ini. Dikatakan bahawa derivatif adalah kadar pertumbuhan atau penurunan fungsi. Walau bagaimanapun, kebanyakan definisi ini menjadi tidak dapat difahami. Mari cuba jelaskan derivatif melalui pembezaan. Mari kita kembali ke sekeping fungsi yang sangat kecil dengan dua titik, yang berada pada jarak minimum antara satu sama lain. Tetapi walaupun untuk jarak ini fungsi ini mempunyai masa untuk berubah sedikit sebanyak. Dan untuk menggambarkan perubahan ini dan tentukan satu derivatif yang boleh ditulis sebagai nisbah perbezaan: f (x) '= df / dx.

Sekarang kita perlu mempertimbangkan sifat-sifat asas derivatif. Terdapat hanya tiga daripada mereka:

1. Derivatif jumlah atau perbezaan boleh diwakili sebagai jumlah atau perbezaan derivatif: (a + b) '= a' + b 'dan (ab)' = a'-b '.
2. Harta kedua adalah berkaitan dengan pendaraban. Derivatif produk adalah jumlah produk satu fungsi pada terbitan yang lain: (a * b) '= a' * b + a * b '.
3. Derivatif perbezaan boleh ditulis dalam bentuk persamaan berikut: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ² .

Semua sifat ini berguna untuk mencari penyelesaian bagi persamaan pembezaan pesanan pertama.

Terdapat juga derivatif separa. Katakan kita mempunyai fungsi z yang bergantung pada pembolehubah x dan y. Untuk mengira derivatif separa fungsi ini, katakan, berkenaan dengan x, kita perlu mengambil pembolehubah y sebagai tetap dan hanya membezakan.

Integral

Satu lagi konsep penting ialah integral. Sebenarnya, ini adalah bertentangan langsung dari derivatif itu. Integrals terdiri daripada beberapa jenis, tetapi untuk menyelesaikan persamaan pembezaan yang paling mudah, kita memerlukan integral yang paling tidak penting.

Jadi, apakah yang penting? Katakan kita mempunyai kebergantungan tertentu f pada x. Kami mengambil daripadanya yang penting dan mendapatkan fungsi F (x) (sering disebut antiderivatif), terbitan yang bersamaan dengan fungsi asal. Oleh itu, F (x) '= f (x). Ia juga mengikuti bahawa integral derivatif adalah sama dengan fungsi asal.

Apabila menyelesaikan persamaan pembezaan, sangat penting untuk memahami makna dan fungsi integral, kerana ia sangat diperlukan untuk membawa mereka untuk mencari penyelesaian.

Persamaan adalah berbeza bergantung kepada sifatnya. Di bahagian seterusnya, kami akan mempertimbangkan jenis persamaan pembezaan urutan pertama, dan kemudian belajar bagaimana menyelesaikannya.

Kelas persamaan kebezaan

"Penyebar" dibahagikan mengikut susunan derivatif yang menyertai mereka. Oleh itu, ada urutan pertama, kedua, ketiga atau lebih. Mereka juga boleh dibahagikan kepada beberapa kelas: biasa dan sebahagian derivatif.

Dalam makalah ini, kita pertimbangkan persamaan pembeza biasa yang pertama. Contoh dan kaedah untuk menyelesaikannya juga akan dibincangkan dalam bahagian berikut. Kami akan mempertimbangkan hanya ODE, kerana ini adalah jenis persamaan yang paling biasa. Biasa dibahagikan kepada subspesies: dengan memisahkan pembolehubah, homogen dan heterogen. Seterusnya, anda akan belajar bagaimana mereka berbeza antara satu sama lain, dan belajar bagaimana menyelesaikannya.

Di samping itu, persamaan ini boleh digabungkan supaya selepas kita mempunyai sistem persamaan pembezaan pertama. Kami juga akan mempertimbangkan sistem sedemikian dan belajar bagaimana menyelesaikannya.

Kenapa kita hanya mempertimbangkan urutan pertama? Kerana anda perlu bermula dengan yang mudah, dan itu tidak mungkin untuk menggambarkan segala sesuatu yang berkaitan dengan persamaan pembezaan dalam satu artikel.

Persamaan dengan pembolehubah yang boleh dipisahkan

Ini adalah, mungkin, persamaan pembezaan urutan pertama yang paling mudah. Ini termasuk contoh yang boleh ditulis sebagai: y '= f (x) * f (y). Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita memerlukan formula untuk mewakili derivatif sebagai nisbah perbezaan: y '= dy / dx. Dengan bantuannya, kita dapat mendapatkan persamaan berikut: dy / dx = f (x) * f (y). Sekarang kita boleh beralih kepada kaedah penyelesaian contoh standard: kita membahagikan pembolehubah dengan bahagian, iaitu, kita memindahkan segala-galanya dari pemboleh ubah y ke bahagian di mana terletak, dan kita juga melakukan ini dengan pembolehubah x. Kami memperoleh persamaan bentuk dy / f (y) = f (x) dx, yang diselesaikan dengan mengambil integral daripada kedua-dua pihak. Jangan lupa tentang pemalar, yang mesti ditetapkan selepas mengambil integral.

Penyelesaian mana-mana "penyebar" adalah fungsi pergantungan x pada y (dalam kes kita) atau, jika terdapat keadaan berangka, jawapannya adalah dalam bentuk nombor. Mari kita analisis pada contoh konkrit penyelesaian keseluruhan penyelesaian:

Y '= 2y * sin (x)

Kami memindahkan pemboleh ubah dalam arah yang berbeza:

Dy / y = 2 * sin (x) dx

Sekarang kita mengambil integral. Kesemua mereka boleh didapati dalam jadual integral khas. Dan kita dapat:

Ln (y) = -2 * cos (x) + C

Sekiranya diperlukan, kita dapat menyatakan "igruk" sebagai fungsi "X". Kini kita boleh mengatakan bahawa persamaan pembezaan kita dapat diselesaikan jika keadaan tidak ditentukan. Keadaan boleh diberikan, sebagai contoh, y (n / 2) = e. Kemudian kita hanya menggantikan nilai pembolehubah ini dalam penyelesaian dan mencari nilai pemalar. Dalam contoh kami, ia adalah 1.

Persamaan pembezaan urutan homogen

Sekarang pergi ke bahagian yang lebih kompleks. Persamaan pembezaan urutan homogen boleh ditulis dalam bentuk umum seperti berikut: y '= z (x, y). Perlu diingatkan bahawa fungsi hak dua pembolehubah adalah homogen, dan ia tidak dapat dibahagikan kepada dua dependensi: z dari x dan z dari y. Untuk memeriksa sama ada persamaan homogen atau tidak, ia agak mudah: kami membuat penggantian x = k * x dan y = k * y. Sekarang kita memotong semua k. Sekiranya semua huruf ini dikurangkan, maka persamaannya adalah homogen dan anda boleh meneruskan penyelesaiannya dengan selamat. Berjalan ke hadapan, katakanlah: prinsip penyelesaian contoh-contoh ini juga sangat mudah.

Kita perlu membuat penggantian: y = t (x) * x, di mana t ialah fungsi yang juga bergantung kepada x. Kemudian kita dapat menyatakan derivatif: y '= t' (x) * x + t. Menggantikan semua ini ke dalam persamaan asal kami dan mempermudahkannya, kami mendapat contoh dengan pembolehubah pengasingan t dan x. Kami menyelesaikannya dan mendapatkan pergantungan t (x). Apabila kami mendapatnya, maka hanya menggantikan y = t (x) * x dalam penggantian kami sebelum ini. Kemudian kita mendapat kebergantungan y pada x.

Untuk menjadikannya lebih jelas, mari kita ambil contoh: x * y '= yx * e ^{y / x} .

Di cek dengan penggantian semua dikurangkan. Oleh itu, persamaan itu benar-benar homogen. Sekarang kita membuat penggantian lain, yang mana kita bercakap: y = t (x) * x dan y '= t' (x) * x + t (x). Selepas pemudahan, kita memperoleh persamaan berikut: t '(x) * x = -e ^t . Kami menyelesaikan contoh yang dihasilkan dengan pembolehubah berasingan dan mendapatkan: e ^-t = ln (C * x). Ia hanya kekal bagi kita untuk menggantikan t dengan y / x (kerana jika y = t * x, maka t = y / x), dan kita dapat jawapannya: e ^{-y / x} = ln (x * C).

Persamaan pembezaan urutan linier

Sudah waktunya untuk mempertimbangkan satu lagi topik yang luas. Kami akan menganalisis persamaan kebezaan yang tidak dapat diasingkan terlebih dahulu. Bagaimana mereka berbeza dari dua yang terdahulu? Katakanlah. Persamaan kebezaan linear bagi urutan pertama boleh ditulis dalam bentuk umum dengan persamaan berikut: y '+ g (x) * y = z (x). Adalah berbaloi untuk menjelaskan bahawa z (x) dan g (x) boleh menjadi kuantiti malar.

Dan sekarang satu contoh: y '- y * x = x ² .

Terdapat dua cara untuk menyelesaikannya, dan kami akan berurusan dengan kedua-duanya. Yang pertama adalah kaedah variasi pemalar sewenang-wenangnya.

Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, pertama sekali perlu menyamakan sebelah kanan ke sifar dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, yang selepas pemindahan bahagian mengambil bentuk:

Y '= y * x;

Dy / dx = y * x;

Dy / y = xdx;

Ln | y | = x 2/2 + C;

Y = e ^{x2 / 2} * di ^C = C ₁ * e ^{x2 / 2} .

Sekarang kita perlu menggantikan pemalar C ₁ dengan fungsi v (x), yang mana kita perlu cari.

Y = v * e ^{x2 / 2} .

Kami menggantikan terbitan:

Y '= v' * e ^{x2 / 2} x * v * e ^{x2 / 2} .

Dan gantikan ungkapan ini dalam persamaan asal:

V '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ² .

Ia dapat dilihat bahawa di sebelah kiri dua istilah dibatalkan. Jika dalam beberapa contoh ini tidak berlaku, maka anda melakukan sesuatu yang salah. Mari lanjutkan:

V '* e ^{x2 / 2} = x2.

Sekarang kita selesaikan persamaan biasa, di mana kita perlu memisahkan pemboleh ubah:

Dv / dx = x ² / e ^{x2 / 2} ;

Dv = x2 * e ^{- x2 / 2} dx.

Untuk mengekstrak integral, kita perlu menerapkan integrasi dengan bahagian-bahagian. Walau bagaimanapun, ini bukan topik artikel kami. Sekiranya anda berminat, anda boleh belajar bagaimana untuk melakukannya sendiri. Ia tidak sukar, dan dengan kemahiran dan perhatian yang mencukupi tidak mengambil banyak masa.

Mari kita beralih kepada kaedah kedua untuk menyelesaikan persamaan-persamaan inhomogeneous: kaedah Bernoulli. Pendekatan yang lebih cepat dan mudah - terpulang kepada anda.

Oleh itu, apabila menyelesaikan persamaan dengan kaedah ini, kita perlu membuat penggantian: y = k * n. Di sini k dan n adalah fungsi tertentu bergantung kepada x. Kemudian derivatif akan kelihatan seperti ini: y '= k' * n + k * n '. Kami menggantikan kedua-dua substitusi ke dalam persamaan:

K '* n + k * n' + x * k * n = x ² .

Kumpulan:

K '* n + k * (n' + x * n) = x ² .

Sekarang kita perlu menyamakan dengan sifar apa yang ada dalam kurungan. Sekarang, jika kita menggabungkan dua persamaan yang dihasilkan, kita memperoleh satu sistem persamaan pembezaan pertama yang mesti diselesaikan:

N '+ x * n = 0;

K '* n = x ² .

Persamaan pertama diselesaikan sebagai persamaan biasa. Untuk melakukan ini, anda perlu memisahkan pemboleh ubah:

Dn / dx = x * v;

Dn / n = xdx.

Kami mengambil integral dan memperoleh: ln (n) = x 2/2. Kemudian, jika kita menyatakan n:

N = e ^{x2 / 2} .

Sekarang kita menggantikan kesamaan yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua sistem:

K '* e ^{x2 / 2} = x2.

Dan berubah, kita mendapat kesamaan yang sama dengan kaedah pertama:

Dk = x ² / e ^{x2 / 2} .

Kami juga tidak akan membongkar tindakan selanjutnya. Perlu diingat bahawa pada mulanya penyelesaian persamaan pembezaan pesanan pertama menyebabkan kesukaran yang besar. Walau bagaimanapun, dengan rendaman yang lebih dalam dalam subjek, ia mula menjadi lebih baik dan lebih baik.

Di mana persamaan pembeza digunakan?

Persamaan pembezaan sangat aktif digunakan dalam fizik, kerana hampir semua undang-undang asas ditulis dalam bentuk pembezaan, dan formula-formula yang kita lihat adalah penyelesaian persamaan-persamaan ini. Dalam kimia, mereka digunakan untuk alasan yang sama: undang-undang asas diperoleh dengan bantuan mereka. Dalam biologi, persamaan pembezaan digunakan untuk memodelkan tingkah laku sistem, contohnya pemangsa mangsa. Mereka juga boleh digunakan untuk membuat model pembiakan, katakan, koloni mikroorganisma.

Bagaimana persamaan pembezaan membantu dalam kehidupan?

Jawapan kepada soalan ini adalah mudah: tidak ada cara. Jika anda bukan saintis atau jurutera, mereka tidak mungkin berguna kepada anda. Bagaimanapun, untuk perkembangan umum, tidaklah wajar untuk mengetahui apa persamaan pembezaan dan bagaimana ia diselesaikan. Dan kemudian persoalan anak lelaki "apa persamaan pembezaan?" Jangan letakkan anda dalam cul-de-sac. Nah, jika anda seorang saintis atau jurutera, anda sendiri memahami pentingnya topik ini dalam mana-mana sains. Tetapi perkara utama adalah sekarang soalan "bagaimana untuk menyelesaikan persamaan pembezaan urutan pertama?" Anda boleh memberi jawapan. Setuju, selalu menyenangkan, apabila anda memahami apa yang orang takut untuk difahami.

Masalah utama dalam kajian ini

Masalah utama dalam memahami topik ini adalah kemahiran yang lemah dalam mengintegrasikan dan membezakan fungsi. Jika anda tidak mengambil derivatif dan integral teruk, maka mungkin, adalah berguna untuk belajar, untuk menguasai pelbagai kaedah penyepaduan dan pembezaan, dan hanya kemudian untuk mula mengkaji bahan yang diterangkan dalam artikel.

Sesetengah orang terkejut apabila mereka belajar bahawa dx boleh dipindahkan, kerana sebelum ini (di sekolah) ia mendakwa bahawa pecahan dy / dx tidak dapat dipisahkan. Di sini anda perlu membaca kesusasteraan mengenai derivatif dan memahami bahawa ia adalah nisbah kuantiti infinitesimal yang boleh dimanipulasi dalam menyelesaikan persamaan.

Ramai orang tidak menyedari bahawa menyelesaikan persamaan pembezaan pertama lazimnya merupakan fungsi atau integral yang tidak penting, dan khayalan ini memberi mereka banyak masalah.

Apa lagi yang boleh anda belajar untuk memahami lebih baik?

Adalah lebih baik untuk memulakan rendaman lebih lanjut dalam dunia kalkulus kebezaan dari buku teks khusus, sebagai contoh, dalam analisis matematik untuk pelajar-pelajar kepakaran bukan matematik. Kemudian anda boleh pergi ke kesusasteraan yang lebih khusus.

Perlu dinyatakan bahawa, sebagai tambahan kepada persamaan pembezaan, terdapat juga persamaan penting, supaya anda sentiasa mempunyai sesuatu untuk berusaha dan apa yang perlu dipelajari.

Kesimpulannya

Kami berharap selepas membaca artikel ini, anda mempunyai idea tentang persamaan pembeza dan cara menyelesaikannya dengan betul.

Dalam sebarang kes, matematik dalam apa jua cara berguna kepada kita dalam kehidupan. Ia mengembangkan logik dan perhatian, tanpa mana-mana orang seperti tanpa tangan.