Maclaurin dan penguraian beberapa fungsi

Belajar matematik lanjutan harus sedar bahawa hasil tambah siri kuasa dalam selang penumpuan beberapa daripada kita, adalah nombor yang berterusan dan tanpa had masa fungsi yang berbeza. Persoalannya timbul: Adakah mungkin untuk berhujah bahawa diberi sewenang-wenangnya fungsi f (x) - adalah jumlah siri kuasa? Iaitu, dalam keadaan apa yang f-tions f (x) boleh diwakili oleh satu siri kuasa? Betapa pentingnya isu ini adalah bahawa ia adalah mungkin untuk menggantikan kira-kira £ Theological f (x) adalah jumlah beberapa sebutan pertama daripada siri kuasa, iaitu polinomial. Apa-apa fungsi penggantian adalah agak mudah bersuara - polinomial - adalah mudah dan dalam menyelesaikan masalah tertentu dalam analisis matematik, iaitu dalam menyelesaikan kamiran apabila mengira persamaan pembezaan , dan sebagainya ...

Ia membuktikan, bahawa bagi sesetengah f f-ii (x), di mana derivatif daripada (n + 1) Perintah -th boleh dikira, termasuk yang terbaru di kawasan sekitar (α - R; x ₀ + R) titik x = α formula yang adil adalah:

formula ini dinamakan selepas seorang saintis terkenal Brooke Taylor. Beberapa yang berasal dari yang sebelumnya, dipanggil siri Maclaurin:

Satu peraturan yang menjadikan ia mungkin untuk menghasilkan pengembangan dalam siri Maclaurin:

1. Menentukan terbitan pertama, kedua, ketiga, ... pesanan.
2. Mengira apakah derivatif pada x = 0.
3. Rekod Maclaurin siri untuk fungsi ini, dan kemudian untuk menentukan selang penumpuan.
4. Menentukan selang (-R; R), di mana sebahagian sisa formula Maclaurin

R _n (x) -> 0 untuk n -> infiniti. Jika ia wujud, ia fungsi f (x) mestilah sama dengan jumlah siri Maclaurin itu.

Sekarang pertimbangkan siri Maclaurin bagi fungsi individu.

1. Oleh itu, yang pertama f (x) = e ^x. Sudah tentu, yang ciri-ciri mereka supaya f-Ia telah diperolehi pelbagai pesanan, dan f ^{(k) (x)} = e ^x, di mana k adalah sama dengan semua nombor asli. Gantikan x = 0. Kami mendapatkan f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Berdasarkan perkara di atas, beberapa e ^x Ia akan menjadi seperti berikut:

2. siri Maclaurin bagi f fungsi (x) = sin x. Segera menentukan bahawa f-tions untuk semua derivatif tidak diketahui akan mempunyai, selain f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' (x)} = x-Sin = sin (x + 2 * n / ²⁾ ... f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), di mana k adalah sama dengan mana-mana integer positif. Iaitu, membuat pengiraan yang mudah, kita boleh menyimpulkan bahawa siri untuk f (x) = sin x akan menjadi seperti ini:

3. Sekarang mari kita mempertimbangkan Iju f-f (x) = cos x. Ia tidak diketahui untuk semua derivatif perintah sewenang-wenangnya, dan ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Sekali lagi, ia telah membuat beberapa pengiraan, kita mendapati bahawa siri untuk f (x) = cos x akan kelihatan seperti ini:

Jadi, kami telah menyenaraikan ciri-ciri yang paling penting yang boleh berkembang dalam satu siri Maclaurin, tetapi mereka melengkapkan siri Taylor untuk sesetengah fungsi. Sekarang kita akan menyenaraikan mereka juga. Ia juga harus diperhatikan bahawa siri Taylor dan siri Maclaurin adalah satu bahagian penting dalam siri bengkel keputusan dalam matematik yang lebih tinggi. Jadi, siri Taylor.

1. Yang pertama adalah satu siri f-ii f (x) = ln (1 + x). Seperti dalam contoh sebelum ini, sebab kami ini f (x) = ln (1 + x) boleh dilipat nombor, menggunakan bentuk umum siri Maclaurin. tetapi untuk ciri ini Maclaurin boleh diperolehi lebih mudah. Mengintegrasikan siri geometri, kita mendapatkan nombor untuk f (x) = ln (1 + x) sampel:

2. Dan kedua, yang akan menjadi akhir dalam artikel ini, akan menjadi satu siri untuk f (x) = arctg x. Untuk x milik selang [-1; 1] adalah penguraian sah:

Itu sahaja. Dalam artikel ini saya telah ditinjau siri Taylor yang paling banyak digunakan dan siri Maclaurin dalam matematik yang lebih tinggi, terutamanya di kolej ekonomi dan teknikal.